CLASE DE SIMULACION: 2013

jueves, 28 de noviembre de 2013

EJERCICIO PRONOSTICO DE IDEAM PARA VILLAVICENCIO

ejercicio

DESARROLLO

miércoles, 27 de noviembre de 2013

viernes, 22 de noviembre de 2013

EJERCICIOS EN PROMODEL REALIZADOS EN CLASE

MODELO 2

MODEL 3

MODELO 4

MODELO 5

sábado, 16 de noviembre de 2013

ProModel es un simulador con animación para computadoras personales. Permite simular cualquier tipo de sistemas de manufactura, logística, manejo de materiales,etc. Puedes simular bandas de transporte, grúas viajeras, ensamble, corte, talleres, logística, etc.

Puedes simular Justo a Tiempo, Teoría de Restricciones, Sistemas de Empujar, Jalar, Logística, etc. Prácticamente, cualquier sistema pueder ser modelado.

Una vez hecho el modelo, éste puede ser optimizado para encontrar los valores óptimos de los parámetros claves del modelo. Algunos ejemplos incluyen determinar la mejor combinación de factores para maximizar producción minimizando costo, minimizar el número de camiones sin penzliar el servicio, etc.

El módulo de optimización nos ayuda a encontrar rápidamente la solución óptima, en lugar de solamente hacer prueba y error. ProModel cuenta con 2 optimizadores disponibles y permite de esta manera explotar los modelos de forma rápida y confiable.

Beneficios Clave

Único software de simulación con Optimización plenamente intregrada
Creación de modelos rápida, sencilla y flexible.
Modelos optimizables.
Elementos de Logística, Manejo de Materiales, y Operaciones incluídas. (Bandas de transporte, Grúas Viajeras, Operadores).
Entrenamiento en Español.
Resultados probados.
Importación del Layout de Autocad, y cualquier herramienta de CAD / CAE / Diseño, así como de fotografías digitales.
Soporte Técnico 24 horas al día, 365 días del Año.
Integración a Excel, Lotus, Visual Basic y herramientas de Microsoft.
Genera en automático las gráficas en 3 dimensiones para visualización en el espacio tridimensional.

Requerimientos de Hardware

Mínimos

Al menos procesador Intel 486.
32 Megabytes de RAM (8 de memoria extendida).
25 Megabytes de Espacion libre en Disco Duro.
Monitor VGA Monitor (640 x 480).
Unidad de CD ROM.
Ratón (Mouse).

Recomendados

Procesador Pentium 200 MMX o superior.
32 Megabytes en RAM.
65 Megabytes de Espacio libre en Disco Duro.
Monitor SVGA (1024 x 786 x 16 millones de colores).
Unidad de CD ROM.
Tarjeta de Sonido.
Acceso a internet.
Ratón (Mouse).

EJEMPLOS:

REALIZADO EN CLASE:

jueves, 7 de noviembre de 2013

TEOREMAS DE MARKOV

TEOREMA 1

Si en cada paso hay una probabilidad constante P de obtener un resultado favorable, el numero esperado de pasos hasta obtener el primer resultado favorable es 1/P.

APLICACIÓN EN SCILAB 5.4.1 PARA LA COMPROBACION DE ESTE TEOREMA

TEOREMA 2

Con toda CM absorvente la probabilidad absorvente es :

I = MATRIZ IDENTIDAD= R^(m*m)

O= MATRIZ NULA= R^(m*(n-m))

R= MATRIZ =R^(n-m)*m)

Q= MATRIZ =R^(n-m)*(n-m)

APLICACIÓN EN SCILAB 5.4.1 PARA LA COMPROBACIÓN DE ESTE TEOREMA

EJERCICIO DEL MAGO DE OZ

EJERCICIO DE LA PEATONAL

martes, 5 de noviembre de 2013

CONCEPTO DE CADENA DE MARKOV

En la teoría de la probabilidad, se conoce como cadena de Márkov o modelo de Márkov a un tipo especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediatamente anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Márkov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado.

Reciben su nombre del matemático ruso Andréi Márkov (1856-1922), que las introdujo en 1907.

En matemática se define como un proceso estocástico discreto que cumple con la propiedad de Márkov, es decir, si se conoce la historia del sistema hasta su instante actual, su estado presente resume toda la información relevante para describir en probabilidad su estado futuro.

Una cadena de Márkov es una secuencia X₁, X₂, X₃,... de variables aleatorias. El rango de estas variables, es llamado espacio estado, el valor de X_n es el estado del proceso en el tiempo n. Si la distribución de probabilidad condicional de X_n+1 en estados pasados es una función de X_n por sí sola, entonces:

$P(X_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n, X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots, X_2=x_2, X_1=x_1) = P(X_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n). \,$

Donde x_i es el estado del proceso en el instante i. La identidad mostrada es la propiedad de Márkov.

Cadenas homogéneas y no homogéneas

Una cadena de Márkov se dice homogénea si la probabilidad de ir del estado i al estado j en un paso no depende del tiempo en el que se encuentra la cadena, esto es:

$P(X_n=j|X_{n-1}=i)=P(X_1=j|X_0=i) \,$ para todo n y para cualquier i, j.

Si para alguna pareja de estados y para algún tiempo n la propiedad antes mencionada no se cumple diremos que la cadena de Márkov es no homogénea.

Probabilidades de transición y matriz de transición]

La probabilidad de ir del estado i al estado j en n unidades de tiempo es

$p_{ij}^{(n)} = \Pr(X_n=j\mid X_0=i) \,$ ,

en la probabilidad de transición en un paso se omite el superíndice de modo que queda

$p_{ij} = \Pr(X_1=j\mid X_0=i). \,$

Un hecho importante es que las probabilidades de transición en n pasos satisfacen la ecuación de Chapman-Kolmogórov, esto es, para cualquier k tal que 0 < k < n se cumple que

$p_{ij}^{(n)} = \sum_{r \in E} p_{ir}^{(k)} p_{rj}^{(n-k)}$

donde E denota el espacio de estados.

Cuando la cadena de Márkov es homogénea, muchas de sus propiedades útiles se pueden obtener a través de su matriz de transición, definida entrada a entrada como $A_{i,j} = p_{i j}\,$

esto es, la entrada i, j corresponde a la probabilidad de ir del estado i a j en un paso.

Del mismo modo se puede obtener la matriz de transición en n pasos como:

$A_{i,j}^{(n)}=P_{i j}^{(n)}$ , donde $P_{i j}^{(n)}=P(X_n=j|X_0=i)$ .

TIPOS DE CADENA

Cadenas irreducibles[]

Una cadena de Márkov se dice irreducible si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones (equivalentes entre sí):

Desde cualquier estado de E se puede acceder a cualquier otro.
Todos los estados se comunican entre sí.
C(x)=E para algún x∈E.
C(x)=E para todo x∈E.
El único conjunto cerrado es el total.

La cadena de Ehrenfest o la caminata aleatoria sin barreras absorbentes son ejemplos de cadenas de Márkov irreducibles.

Cadenas positivo-recurrentes[

Una cadena de Márkov se dice positivo-recurrente si todos sus estados son positivo-recurrentes. Si la cadena es además irreducible es posible demostrar que existe un único vector de probabilidad invariante y está dado por:

$\pi_x = 1/\mu_x \,$

Cadenas regulares[

Una cadena de Márkov se dice regular (también primitiva o ergódica) si existe alguna potencia positiva de la matriz de transición cuyas entradas sean todas estrictamente mayores que cero.

Cuando el espacio de estados E es finito, si P denota la matriz de transición de la cadena se tiene que:

$\lim_{n \to \mathcal{1} \,}P^n= W$

donde W es una matriz con todos sus renglones iguales a un mismo vector de probabilidad w, que resulta ser el vector de probabilidad invariante de la cadena. En el caso de cadenas regulares, éste vector invariante es único.

Cadenas absorbentes[

Una cadena de Márkov con espacio de estados finito se dice absorbente si se cumplen las dos condiciones siguientes:

La cadena tiene al menos un estado absorbente.
De cualquier estado no absorbente se accede a algún estado absorbente.

Si denotamos como A al conjunto de todos los estados absorbentes y a su complemento como D, tenemos los siguientes resultados:

Su matriz de transición siempre se puede llevar a una de la forma

$P = \begin{pmatrix} Q & R \\ 0 & I \end{pmatrix}$

donde la submatriz Q corresponde a los estados del conjunto D, I es la matriz identidad, 0 es la matriz nula y R alguna submatriz.

$P_x(T_A < \mathcal{1} \,) = 1$ , esto es, no importa en donde se encuentre la cadena, eventualmente terminará en un estado absorbente.

Cadenas de Márkov en tiempo continuo[]

Si en lugar de considerar una secuencia discreta X₁, X₂,..., X_i,.. con i indexado en el conjunto $\mathbb{N}\;\!$ de números naturales, se consideran las variables aleatorias X_t con t que varía en un intervalo continuo del conjunto $\mathbb{R}\;\!$ de números reales, tendremos una cadena en tiempo continuo. Para este tipo de cadenas en tiempo continuo la propiedad de Márkov se expresa de la siguiente manera:

$P(X(t_{n+1})=x_{n+1} | X(t_n)=x_n, \ldots, X(t_1)=x_1) = P(X(t_{n+1})=x_{n+1}|X(t_n)=x_n)$ tal que $t_{n+1} > t_n > t_{n-1} > \dots > t_1$

Para una cadena de Márkov continua con un número finito de estados puede definirse una matriz estocástica dada por:

$\mathbf{P}(t_1,t_2)=[p_{ij}(t_1,t_2)]_{i,j=1,\dots,N}, \qquad p_{ij}(t_1,t_2) = P[X(t_2)=j|X(t_1)=i],\ 0\ge t_1< t_2$

La cadena se denomina homogénea si $\mathbf{P}(t_1,t_2)=\mathbf{P}(t_2-t_1)$ . Para una cadena de Márkov en tiempo continuo homogénea y con un número finito de estados puede definirse el llamado generador infinitesimal como:²

$\mathbf{Q}= \lim_{h\to 0^+} \frac{\mathbf{P}(h)-\mathbf{I}}{h}$

Y puede demostrarse que la matriz estocástica viene dada por:

$\mathbf{P}(t)= e^{\mathbf{Q}t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\mathbf{Q}^n t^n}{n!}$

APLICACIONES

Física[]

Las cadenas de Márkov son usadas en muchos problemas de la termodinámica y la física estadística. Ejemplos importantes se pueden encontrar en la Cadena de Ehrenfest o elmodelo de difusión de Laplace.

Meteorología[]

Si consideramos el clima de una región a través de distintos días, es claro que el estado actual solo depende del último estado y no de toda la historia en sí, de modo que se pueden usar cadenas de Márkov para formular modelos climatológicos básicos.

Modelos epidemiológicos[]

Una importante aplicación de las cadenas de Márkov se encuentra en el proceso Galton-Watson. Éste es un proceso de ramificación que se puede usar, entre otras cosas, para modelar el desarrollo de una epidemia (véase modelaje matemático de epidemias).

Internet[]

El pagerank de una página web (usado por Google en sus motores de búsqueda) se define a través de una cadena de Márkov, donde la posición que tendrá una página en el buscador será determinada por su peso en la distribución estacionaria de la cadena.

Simulación[]

Las cadenas de Márkov son utilizadas para proveer una solución analítica a ciertos problemas de simulación tales como el Modelo M/M/1.³

Juegos de azar[]

Son muchos los juegos de azar que se pueden modelar a través de una cadena de Márkov. El modelo de la ruina del jugador, que establece la probabilidad de que una persona que apuesta en un juego de azar finalmente termine sin dinero, es una de las aplicaciones de las cadenas de Márkov en este rubro.

Economía y finanzas[]

Las cadenas de Márkov se pueden utilizar en modelos simples de valuación de opciones para determinar cuándo existe oportunidad de arbitraje, así como en el modelo de colapsos de una bolsa de valores o para determinar la volatilidad de los precios. En los negocios, las cadenas de Márkov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo.

Genética[

Se emplean cadenas de Márkov en teoría de genética de poblaciones, para describir el cambio de frecuencias génicas en una población pequeña con generaciones discretas, sometida a deriva genética. Ha sido empleada en la construcción del modelo de difusión de Motō Kimura.

Música[]

Diversos algoritmos de composición musical usan cadenas de Márkov, por ejemplo el software Csound o Max

EJERCICIOS DE CADENA DE MARKOV

PROBLEMA DEL CUENTO DEL MAGO DE OZ

PROBLEMA DE LA PEATONAL

miércoles, 23 de octubre de 2013

SIMULACIÓN MONTECARLO EJERCICIOS EN EXCEL

GENERADOR EXCEL

CUADRADOS MEDIOS

PRODUCTOS MEDIOS

MULTIPLICADOR CONSTANTE

CONGRUENCIAL ADITIVO

CONGRUENCIAL CUADRATICO

SIMULACION MONTECARLO

EJERCICIO CON INTEGRAL

miércoles, 16 de octubre de 2013

PRUEBA DE VARIANZA

Otra propiedad que debe satisfacer el conjunto de ri, es que sus números tengan una varianza de 1/12.

la prueba que busca determinar lo anterior es la prueba de varianza, que establece las siguientes hipótesis:

H0: σ2ri=1/12H1: σ2ri≠1/122.4.2

Pruebas de Varianza

La prueba de varianza consiste en determinar la varianza de los n números que contiene ri, mediante la ecuación siguiente:

Después se calculan los limites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones siguientes:
Si el valor de V(r) se encuentra entre los límites de aceptación, decimos:

No se puede rechazar que el conjunto ritiene una varianza de 1/12, con un nivel de aceptación de 1-α;De lo contrario, se rechaza que el conjunto ri, tiene una varianza de 1/12.

Ejemplo:

realizar la prueba de varianza a los 40 números ri de la siguiente tabla. Considerando que n=40 y α=5%, procedemos a calcular la varianza de los números, y los límites de aceptación correspondientes:

Dado que el valor de la varianza: V(r)=0.087034 está entre los limites de aceptación, podemos decir que no se puede rechazar que el conjunto de 40 números ri tiene una varianza de 1/12= 0.08333.

PRUEBA CHI-CUADRADA y KOLMOGOROV-SMIRNOVPRUEBAS DE UNIFORMIDAD

Una de las propiedades más importantes que debe cumplir un conjunto de números ri es la uniformidad . Para comprobar su acatamiento se han desarrollado pruebas estadísticas tales como las pruebas Chi-cuadrada y de Kolmogorov-Smirnov .

La prueba Chi-cuadrada busca determinar si los números del conjunto ri se distribuyen uniformemente en el intervalo (0,1). Para llevar a cabo esta prueba es necesario dividir el intervalo (0,1), en m subintervalos, en donde es recomendable m=√n. Posteriormente se clasifica cada número pseudo aleatorio del conjunto ri en los m intervalos .Prueba Chi-cuadrada

A la cantidad de números ri que se clasifican en cada intervalo se le denomina frecuencia observada (Oi), y a la cantidad de números ri que se espera encontrar en cada intervalo se le llama frecuencia esperada (Ei); teóricamente, la ri es igual a n/m. A partir de los valores de Oi y Ei

ALGORITMO CONGRUENCIAL MULTIPLICATIVO

Surge del algoritmo congruencial lineal cuando C=0; entonces la ecuación es:

La ventaja de este método es que en comparación con el algoritmo lineal es que este implica una operación menos.
Los parámetros de arranque de este algoritmo son Xo, a y m, todos los cuales deben ser números enteros y mayores que cero. Para transformar los números Xi en el intervalo (0,1) sea la ecuación:ri = xi/(m-1).

De acuerdo con Banks, Carson, Nelson y Nicol, las condiciones que deben cumplir los parámetros para que el algoritmo congruencial multiplicativo alcance su máximo periodo son:a= 3 + 8k o a = 5 + 8k k= 0,1,2,3,… X0 debe ser un numero impar g debe ser entero. A partir de estas condiciones se logra un período de vida máximo.

El Método Congruencial multiplicativo

Al igual que el generador congruencial mixto lineal, el generador congruencial multiplicativo determina el próximo número pseudoaleatorio a partir del último número generado, de acuerdo a la siguiente fórmula.

Fórmula:

Ejemplo 5: Genere números pseudoaleatorios U(0,1) aplicando el método congruencial multiplicativo con:

a = 5; X0 = 5; m = 32

Solución:

Período del generador = 8

CLASE DE SIMULACION